CAMTP domov
CAMTP
Center za uporabno matematiko in teoretično fiziko
Univerza v Mariboru, Slovenija
 

Kaos in revolucije v znanosti 20. stoletja

Od antike do sedanjosti

Pod pojmom kaosa si v vsakdanjem življenju predstavljamo nekaj, kar ni urejeno, nima nobene zaznavne strukture v prostoru in času, nekaj, kar je povsem naključno ter nepredvidljivo, nekaj, čigar podrobnosti tudi matematično ni mogoče natančno opisati s preprosto formulo, z nekim algoritmom in teorijo. Ta naivna predstava je kar precej blizu znanstvenemu pojmu kaosa v matematiki in fiziki.

Pojem kaosa izvira iz antične Grčije, kakor tudi pojem kozmosa, in oba se pojavita že v orfičnih religioznih sistemih in teogonijah, še preden se je grška filozofija sploh začela. Kaos označuje stanje stvari pred nastankom sveta, kozmos pa kasnejšim filozofom, od Pitagore do Arhimeda, označuje urejenost sveta, ki se zrcali v celokupnosti vseh naravnih pojavov.

V grški antični kulturi je obstajal zanimiv fenomen, religija, ki sploh ni bila zelo religiozna, namreč politeistična religija čaščenja olimpskih bogov. Olimpski bogovi niso ustvarili sveta (kozmos), temveč so le živeli v njem, nesmrtni. Ta religija sploh ni bila religija v sodobnem smislu, temveč bolj poezija, ki se je najlepše razcvetela prav v Homerju. Vendar je že tedaj obstajalo drugo gibanje, ki ga lahko imamo za religijo v današnjem smislu, in sicer je bil to dionizični kult, oboževanje Dionizija, boga vina. (Dionizij je imel vrsto drugih imen kot so Bakh, Zagrej, Bromij.) V tem kultu se je razvil globok misticizem, ki je nato prerasel v orfično religiozno gibanje, oplemeniteno z elementi in opijanjem duha, ki je že tedaj postavljalo prava in dobra vprašanja.

To je bil začetek (grške, zahodne) filozofije, in prvi grški filozof ter hkrati naravoslovec je bil Tales iz Mileta (okoli 580 p.n.š.). Pitagora (570-490 p.n.š.) pa je bil prvi veliki filozof, ki je zares zrevolucioniral filozofsko ter znanstveno razmišljanje. Rodil se je na otoku Samosu, in dosegel svoj višek okoli 537 p.n.š. Samos je bil tedaj diktatura pod Polikratom, Pitagora se je čutil ogroženega ter zbežal v Kroton (grška kolonija v južni Italiji). Osnova njegove religije je bilo verovanje v transmigracijo (preseljevanje) duš. Veliko bolj pomembna je seveda njegova znanost. Bertrand Russell pripisuje Pitagori izjemen pomen za vso človeško kulturno zgodovino, in meni, kakor da bi povzemal Pitagoro, da vse največje pridobitve ter stvaritve človeštva zahtevajo določen element duhovnega oziroma duševnega opijanja, potrebujejo močna čustva, celo določeno razbitje racionalne previdnosti skozi ustvarjalno strast. Brez dionizičnih elementov je življenje dolgočasno, zgolj z njimi je nevarno. Pitagora se je nekako štel za polboga, saj je pisal: "Obstajajo ljudje, obstajajo (olimpski) bogovi, in obstaja Pitagora".

Pitagora, ki je danes slaven najbolj zaradi svojega izreka o pravokotnih trikotnikih, je izjemnega pomena za znanost. Za njega in za kasnejše filozofe je bila dualnost pojmov kaos-kozmos natanko predhodnik sodobnega pojma dualnosti kaos-urejenost v naravoslovju. To je bila tudi ena glavnih tem na Akademiji, ki jo je ustanovil Platon (429-384 p.n.š) okoli leta 400 p.n.š., in ki je delovala neprekinjeno do 529 n.š., ko jo je rimski cesar Justinijan ukinil zaradi njene religiozne nezvestobe.

Pitagora je pomemben, ker je prvi uvedel matematiko v naravoslovje. Zelo so ga zanimala števila. Odkril je harmonična razmerja v glasbi, ko je opazoval nihanja vpete strune. Opazil je, da ima polovična struna za oktavo višji ton kot celotna (torej dvakrat višjo frekvenco). Tako je razvil stevilčno razlago za harmonična razmerja med različnimi toni, ki so posledica racionalnih razmerij med dolžinami pripadajočih strun. To odkritje ga je tako navdušilo, da je razvil teorijo in filozofsko doktrino, ki jo je strnil v trditev "Vse stvari so števila". To pa je natanko filozofska podlaga za matematični opis sveta in naravnih pojavov. Začetek sodobne znanosti. Po drugi strani pa je na svoje presenečenje odkril in dokazal, da je kvadratni koren števila dva (dolžina hipotenuze pravokotnega enakokrakega trikotnika z enotsko kateto) iracionalno število, torej takšno, da ga ni mogoče zapisati kot količnik dveh celih števil. Torej se je že Pitagora zavedal, da so števila lahko bistveno bolj kompleksna kot so racionalna števila. Za izračun kvadratnega korena števil ter drugih iracionalnih števil seveda danes obstaja preprost algoritem. Vendar ne za vsa. Nekatera števila so preveč kompleksna, da bi jih lahko izračunali s preprostim programom ali formulo. Lahko pa jih poljubno dobro aproksimiramo z racionalnimi števili.

Moderni znanstveni pojem kaosa pomeni v prvi vrsti veliko kompleksnost, nekaj, kar v podrobnostih ni mogoče razumeti in opisati. Procesi in strukture, ki so nepredvidljive v času in prostoru. Na primer zaporedje števil, ali realno število, ki je tako komplicirano, da ga ni mogoče opisati s preprosto formulo ali s preprostim računalniškim programom (algoritmom). V tem primeru bi namreč bil računalniški program oziroma algoritem enako dolg kot številsko zaporedje samo. Takšno število oziroma zaporedje števil je nenapovedljivo, njegova informacija je nestisljiva, ni je mogoče zmanjšati na preprostejšo obliko.

Vprašanje je, ali takšni kaotični procesi in strukture zares obstajajo. Odgovor je pozitiven, obstajajo, še več, skoraj vsa (realna) števila so tega tipa, so nenapovedljiva v zgoraj navedenem smislu! In večina procesov ter struktur v vesolju in v naravi je kaotičnih. Za njih je značilno, da imajo lastnost občutljive odvisnosti od začetnih pogojev, občutljivo odvisnost od robnih pogojev (zahtev, kako se morajo vesti na robovih svoje domene, kjer "živijo"), ter od drugih parametrov. Zelo majhna sprememba v začetnem stanju sistema privede po relativno kratkem času do povsem nepričakovanega stanja sistema.

Tri revolucije v klasični znanosti 20. stoletja

Ob koncu 19. stoletja je znameniti britanski fizik Lord Kelvin zapisal, da je razvoj fizike končan, da poznamo vse njene zakone in principe, in samo vprašanje časa je, kdaj bomo odgovorili na vsa tehnična vprašanja, kakšne so točno vse (logične) posledice teh naravnih zakonov in principov. Zdelo se je, da človeštvo že ima nekakšno "teorijo vsega".

Kelvin se je hudo motil. že čez nekaj let, točneje leta 1900, je nemški fizik Max Planck objavil članek o teoriji sevanja črnega telesa, ki se danes šteje za začetek kvantne teorije. V letih 1926-7 se je rodila sodobna kvantna mehanika v delih Heisenberga ter Schrödingerja, kasneje pa so prispevali še Jordan, Dirac, John von Neumann, Pauli, idr. Kvantna teorija je prav gotovo največji triumf človeškega znanstvenega duha, in torej največja revolucija v znanosti 20. stoletja in v zgodovini znanosti nasploh, če morda odštejemo Newtonova odkritja.

Leta 1905 je bilo človeštvo priča druge revolucije, spet v fiziki, namreč ko je Einstein odkril in objavil svojo specialno teorijo relativnosti (in njegova formula E=mc² je najbrž najslavnejša formula vseh časov). Skupaj s kvantno teorijo, po zaslugi Diraca in drugih, je le-ta za zmeraj spremenila ne le znanost temveč svet in vso našo civilizacijo. Rodila se je podrobna znanstvena teorija atomov, molekul, jeder, osnovnih delcev, trdne snovi, mehke snovi, znanje, na katerem sloni vsa sodobna tehnologija. Šele kvantna teorija je n.pr. pomagala razumeti zakaj Sonce in druge podobne normalne zvezde sploh sijejo, in to čez dolga obdobja deset do dvajset milijard let, enakomerno. Namreč, v njihovem jedru potekajo jedrske reakcije, zlivanje vodikovih jeder v jedra helija, od tod energija za sevanje in stabilnost zvezde, ki bi se sicer zrušila sama vase, zaradi lastne težnosti.

Zato ne preseneča, da so se skoraj vsi fiziki v tem obdobju ukvarjali s kvantno teorijo. Za nameček je Einstein v letih 1915-1916 objavil svojo splošno teorijo relativnosti in gravitacije, ki je splošnejsa od Newtonove, in ki so jo kar hitro (1919) eksperimentalno potrdili. Mrzlično so iskali in še zmerom iščejo enotno teorijo polja, t.j. univerzalno teorijo vseh interakcij (sil) v naravi (gravitacijska, elektromagnetna, šibka in močna). Klasična fizika, mehanika in s tem povezana področja matematike, so tonila v pozabo za več desetletij. Do odkritja kaosa. Z njim so povezani trije revolucionarni preobrati v klasični znanosti 20. stoletja.

Kurt Godel in Albert Einstein Prvič, v matematiki in matematični logiki so se pojavila nerešljiva protislovja (antinomije), ki so ogrožala logično zaključenost ter konsistentnost vseh matematičnih struktur. Pravzaprav so bila znana že prej, vendar se matematiki niso povsem zavedali njihovega pomena (nevarnosti). Na primer paradoks Epimenida iz antične Grčije, ki se ukvarja z izjavo: "Ta stavek je neresničen." In vprašuje, ali je ta stavek resničen ali ne. Če je resničen, potem je neresničen zaradi svoje vsebine, kar je protislovje. Če pa ni resničen, potem ustreza svoji definiciji, in je zato spet resničen, kar pa je ponovno protislovje. Takih protislovij je veliko. Bertrand Russell in Alfred North Whitehead, velika matematika in filozofa, sta objavila obsežno teorijo tipov, v knjigi Principia Mathematica, v začetku 20. stoletja, kjer sta poskušala rešiti logiko ter matematiko, v glavnem s prepovedjo izjav, ki se nanašajo same nase. Ta zahteva je pa žal neke vrste nasilje, saj v naravi obstajajo objekti in pojmi,ki se nanašajo na samega sebe. Kurt Gödel je pokazal v svojem revolucionarnem delu leta 1931, da v vsaki dovolj bogati matematični strukturi, kot je n.pr. teorija (naravnih, celih pozitivnih) števil, obstajajo izreki (trditve), ki so povsem korektne, sintaktično pravilne, vendar jih ni mogoče dokazati. To je dokazal z genialno idejo, tako da je številčno kodiral definicije, aksiome ter izreke, ki so s tem postali predmet teorije števil. Pokazal je, da določenih števil ni mogoče izračunati v končnem stevilu korakov, izrek, ki ga kodirajo, pa s tem seveda ni dokazljiv s končnim številom logičnih sklepov. Torej imamo revolucionarno odkritje: obstajajo resnice, ki jih ni mogoče dokazati, niti ovreči, v končnem številu korakov, samo po empirični plati obstaja možnost, da izjavo falsificiramo (najdemo kontraprimer), vendar nimamo pojma kako, kdaj in v kakšnih okoliščinah se to lahko zgodi.

Gödelovo odkritje je kasneje (1937) na drugačen način odkril angleški teoretik Alan Turing, ki je prvi dokazal, da obstaja pojem univerzalnega digitalnega računalnika, ter odkril, da obstajajo števila, ki jih takšen univerzalni računalnik ne more izračunati. Imenujemo jih neizračunljiva števila, in le-ta ustrezajo Gödelovim nedokazljivim izrekom. Zakaj? Ker je najkrajši možni program (algoritem) za njihov izračun prav tako dolg, kot število oziroma številčno zaporedje samo. Dokazali so, da je večina realnih števil tega tipa. Torej ti primeri niso izjemni in patološki, brez teoretične in praktične vrednosti, temveč prav nasprotno, povsod so prisotni v kozmosu.

Drugič, v delih Poincaréja (v začetku 20. stoletja), ter Kolmogorova, Arnolda, Moserja, Smalea, Chirikova, Lorenza, Feigenbauma in drugih konec petdesetih in v začetku šestdesetih let, se je pokazalo, da kaos obstaja v naravi, v determinističnih sistemih, in da se v njem manifestira prav zgoraj navedena algebraična kompleksnost, zanj pa je značilno, da so zaporedna stanja v razvoju danega kaotičnega sistema zelo občutljivo odvisna od začetnih pogojev. Primer je sistem in gibanje treh teles, ki se medsebojno gravitacijsko privlačijo.

Tretjič, John von Neumann je pokazal, da lahko obstajajo sistemi (avtomati), ki se lahko samoreproducirajo, in da v tem ni nikakršnega logičnega protislovja. Nadalje je presenetilo revolucionarno odkritje, da je v odprtih in disipativnih determinističnih sistemih možna samoorganizacija preprostih in kompleksnih struktur, vključno s samoreproduktivnimi živimi bitji, kar sta v svojih delih pokazala Hermann Haken iz Stuttgarta ter Ilya Prigogine iz Bruslja. živa bitja si lahko shematično predstavljamo kot biokemične avtomate, katerih hardware je zgrajen iz proteinskih molekul, software pa nosijo molekule DNA in RNA. Seveda je situacija v resnici bistveno bolj komplicirana, živa bitja so hierarhično zgrajena, čiste razmejitve med hardwareom in softwareom ni, temveč lahko določena konfiguracija hardwareja na nekem nivoju nosi informacijo (in je torej software) za hardware na višjem nivoju. Prav hierarhična struktura je ključnega pomena za fenomenalno stabilnost živih bitij ter drugih struktur. Velja namreč splošni princip stabilnosti hierarhičnih sistemov, ki ga trdim in zagovarjam, namreč da so najbolj stabilne (v naravi, tehniki in družbi) hierarhično zgrajene strukture: vprašanja lokalnega pomena se naj lokalno odločajo.

Kaos v Sončnem sistemu in KAM teorija

Prava paradigma kaotičnega gibanja je gibanje treh teles, ki se gravitacijsko privlačijo, n.pr. gibanje planeta okoli dveh zvezd, ali gibanje dveh večjih planetov okoli ene zvezde. Veliki francoski matematik Henri Poincaré je v začetku dvajsetega stoletja matematično strogo dokazal, da je tak sistem (neintegrabilen in) kaotičen. V resnici je gibanje zunanjih planetov, kot je n.pr. Pluton, kaotično, kot so dokazali Wisdom in Sussman na MIT v ZDA ter Jacques Laskar iz Pariza, ob koncu osemdesetih let 20. stoletja. Kako pa naj to razumemo, saj se vendar planeti gibljejo po (Keplerjevih) elipsas, kot nas učijo v šoli, in kot je dokazal Newton v svoji mehaniki in teoriji gravitacije okoli leta 1670? Da, če ne bi bilo drugih planetov, bi se posamičen planet prav zares gibal po natančno eliptični tirnici, kar pa se v realnosti ne dogaja, prav zaradi (sicer zelo šibkega) vpliva drugih planetov, čigar posledice so zato vidne šele po (zelo) dolgih časih. Torej planet Pluton se sicer giblje približno po Keplerjevi elipsi, vendar le za kratka obdobja nekaj deset, sto, tisoč, desettisoč, stotisoč let. Na dolgi rok milijon in več deset milijonov let pa je gibanje kaotično v tem smislu, da se njegova tirnica, elipsa, počasi spreminja in to na kaotičen, le težko predvidljiv način.

Podobne in dramatične so ugotovitve za druge planete, kakor je pokazal Jacques Laskar iz Pariza, in ki jih lahko strnemo v spoznanje: urejen in regularen Sončni sistem - kot stara predstava očetov nebesne mehanike - je mrtev! Možni so celo trki planetov ali njihov pobeg iz planetnega sistema. K sreči pa je vendar regularno gibanje Zemlje, katere eliptična tirnica je skoraj krožnica - razdalja Zemlje od Sonca se čez leto spreminja le za nekaj desettisočink. Kar predstavljajte si, kako bi bilo, če bi Zemlja obkrožala Sonce na kaotičen način, (divje) spreminjala razdaljo od Sonca (ki je zdaj okoli 150 milijonov kilometrov): Klima bi se po vsem planetu divje in kaotično spreminjala, kar bi najbrž onemogočilo nastanek življenja, še posebej visoko razvitih vrst ter človekove civilizacije.

V Sončnem sistemu obstajajo še drugi kaotični pojavi. Na primer gibanje asteroidov. To so majhna telesa, njihov premer znaša od nekaj deset metrov do več kot 80 kilometrov, in velika večina se jih nahaja v pasu med Marsom in Jupitrom, kjer so kar enakomerno porazdeljeni. Vendar v tem pasu obstajajo tako imenovane Kirkwoodove vrzeli, kjer asteroidov skoraj ni. Zakaj? Izkaže se, da so te Kirkwoodove vrzeli prav tisto območje, kjer je gibanje asteroida okoli in zaradi vpliva Sonca v resonanci z gibanjem velikega planeta Jupitra, namreč obhodni čas asteroida je v racionalnem razmerju z obhodnim časom Jupitra. V takem primeru se lahko majhne motnje po dovolj dolgem času močno povečajo. KAM teorija, eden osnovnih stebrov sodobne mehanike, imenovana po Kolmogovoru, Arnoldu (oba ruska matematika) ter Moserju (švicarski matematik), razlaga, da se majhne motnje pri gibanju, ki je dovolj daleč od resonance, po dolgem času nekako izpovprečijo in ne pride do velikih kvalitativnih sprememb, gibanje ostaja regularno. Prav v vrzelih blizu resonanc pa KAM teorija dovoljuje, druge teorije pa jo v tem dopolnjujejo, nastanek kaotičnega gibanja. In prav to kaotično gibanje v resonančnih Kirkwoodovih vrzelih je omogočilo, da so asteroidi lahko na kaotičen (neurejen, stohastičen) način pobegnili iz vrzeli, kar je vzrok njihove evakuacije oziroma nastanka vrzeli.

Drugi primer resonance, ki lahko vodi do kaotične dinamike, je gibanje osi vrtenja planetov. Poševnost planeta je kot med njegovo osjo vrtenja ter pravokotnico na ravnino gibanja. Pri Zemlji znaša ta kot 23,5 stopinj, in odločilno vpliva na klimo na našem planetu, saj je poleti severna polobla obrnjena k Soncu hkrati pa so še dnevi daljši, pozimi pa je obratno. Vendar velja to le za sedanjost. Zemeljska os vrtenja namreč v resnici precedira, kar pomeni da je sicer poševnost konstantna, vendar se os vrtenja suče enakomerno (po stožcu) okoli pravokotnice na ravnino gibanja (ekliptiko). To se dogaja zaradi težnostnega vpliva Sonca in Lune na naš planet, če le tega ne obravnavamo več kot točkasto telo (maso), temveč kot vrtavko. Perioda te precesije je 26000 let. Danes je zvezda Severnica tam, kjer os vrtenja Zemlje predira nebo, čez 13000 let bo ta točka za 47 stopinj diametralno nasproti Severnici, in klimatske razmere na Zemlji bodo natanko obrnjene. Čez nadaljnih 13000 let pa bo spet tam, kjer je danes. Srbski astronom Milutin Milanković je že leta 1941 postavil hipotezo in teorijo, da so klimatske spremembe na Zemlji, še prav posebej ledene dobe, tesno povezane z astronomskimi cikli. Tedaj je bila njegova teorija nesprejeta, danes velja več ali manj za standardno teorijo osnovnih klimatskih ciklov. Nevarne, kaotične resonance se sedaj v našem primeru lahko pojavijo, če je gibanje enega od drugih planetov v resonanci s precesijskim ciklom (v primeru Zemlje 26000 let). Tedaj se lahko namreč poševnost planeta močno in relativno hitro ter kaotično spreminja. K sreči se to v primeru Zemlje ne dogaja, dodatno pa še Luna s svojo prisotnostjo močno stabilizira oscilacije poševnosti Zemlje, tako da se za stabilnost klime na Zemlji moramo zahvaliti predvsem obstoju Lune. To je pokazala Laskarjeva analiza. Povsem drugače je pri drugih planetih, predvsem pri Marsu, pa tudi pri Merkurju in Veneri: njihova poševnost se s časom kaotično spreminja, prav zaradi resonanc. Zato nimajo stabilne klime. Iz tega lepo vidimo, kako izjemna je dinamika Zemlje: tirnica je skoraj krožnica (sevanje Sonca skoraj konstantno), poševnost relativno majhna (razlike med zimo in poletjem niso tako hude, kot bi lahko bile), in kaotične oscilacije poševnosti so majhne in pocašne (zaradi Lune), tipični čas za takšne spremembe je nekaj desettisoč do stotisoč in milijon let. Posledica tega je dolgoročna relativna stabilnost klime, kontrast med ledenimi in toplimi obdobji ni tako zelo velik, kot bi bil sicer, obdobja pa se kljub vsemu dovolj počasi menjavajo, tako da se flora in favna lahko temu tudi počasi prilagodita, brez velikih katastrof. Ali je še kje v naši Galaksiji zvezda, normalna kot naše Sonce, s planetnim sistemom, ter planetom, ki je tak kot naša Zemlja, s pravo kemijo, atmosfero, ter stabilno klimo, ter z življenjem, inteligentnim življenjem in civilizacijo? Tudi na to vprašanje bo znanost nekoč dobila odgovor.

Prof.Dr. Marko Robnik
Direktor CAMTP
objavljeno v Večeru 4. in 11. feb. 2003

CAMTP domov
Zadnja sprememba: 12 Feb 2003 Marko Robnik
CAMTP domov